Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥PD；
（2）在線段PA上是否存在點E，使BE∥平面PCD？若存在，確定點E的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性質定理證明AC⊥平面PCD，即可證明AC⊥PD；
（2）當點E是線段PA的中點時，BE∥平面PCD．利用已知條件，得到四邊形BCFE為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答 證明：（1）連接AC，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，…（4分）
∵PD?平面PCD，所以AC⊥PD．…（5分）
（2）當點E是線段PA的中點時，BE∥平面PCD．…（6分）
證明如下：分別取AP，PD的中點E，F，連接BE，EF，CF．則EF為△PAD的中位線，
所以EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD=1$，
又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，
所以四邊形BCFE是平行四邊形，所以BE∥CF，…（10分）
又因為BE?平面PCD，CF?平面PCD
所以BE∥平面PCD．…（12分）

點評 熟練掌握面面垂直的性質定理、平行線分線段成比例定理在三角形中的應用、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理是解題的關鍵．