Question

10．已知函數f（x）=sinx（cosx-sinx），則下列說法正確的為（　�。�

• A． 函數f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{8}$
• C． 對稱f（x）的最大值為$\sqrt{2}$
• D． 將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度后會得到一個奇函數的圖象

Answer 1

分析 利用二倍角公式將函數化簡y=Asin（ωx+φ）的形式，再結合三角函數的圖象和性質，判斷下列各項即可．

解答 解：由題意：函數f（x）=sinx（cosx-sinx），
化簡：f（x）=sinxcosx-sin²x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$，
函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，∴A不對．
函數f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），當k=0時，對稱軸x=$\frac{π}{8}$，∴B對．
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值為1，∴函數f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$．∴C不對．
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位長度，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-1，顯然不是奇函數．∴D不對．
故選：B．

點評 本題考查了函數的化簡能力和性質的綜合運用能力，綜合性強．屬于中檔題．