Question

18．已知點A（3，$\sqrt{3}$），O為坐標原點，點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則滿足條件點P所形成的平面區域的面積為$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先畫出可行域，利用三角形面積公式求面積；明確令$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影為$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，利用其幾何意義求最值．

解答 解：由已知得到平面區域如圖，P所在區域即為陰影部分，由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$得到C（-2，0）B（1，$\sqrt{3}$），所以其面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
令$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影為$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，所以y=$-\sqrt{3}x+2z$，過B時z最大，
所以，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上投影的最大值為$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了簡單線性規劃問題；正確畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求得最值是關鍵．