Question

5．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，設其導函數為f′（x），當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-3）的實數x的取值范圍是（0，3）．

Answer 1

分析 當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），可得xf′（x）+f（x）＜0，因此F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，函數F（x）在x∈（-∞，0]上單調遞減．由于函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得F（x）是R上的偶函數，可得函數F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，即可得出．

解答 解：∵當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），∴xf′（x）+f（x）＜0，
F（x）=xf（x），F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函數F（x）在x∈（-∞，0]上單調遞減，
由于函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴F（x）是R上的偶函數，∴函數F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，
∵F（3）＞F（2x-3），∴|2x-3|＜3，
解得0＜x＜3．
的實數x的取值范圍是（0，3）．
故答案為：（0，3）．

點評 本題考查了函數的單調性奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．