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5.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,設其導函數為f′(x),當x∈(-∞,0]時,恒有xf′(x)<f(-x),令F(x)=xf(x),則滿足F(3)>F(2x-3)的實數x的取值范圍是(0,3).

分析 當x∈(-∞,0]時,恒有xf′(x)<f(-x)=-f(x),可得xf′(x)+f(x)<0,因此F′(x)=f(x)+xf′(x)<0,函數F(x)在x∈(-∞,0]上單調遞減.由于函數f(x)是定義在R上的奇函數,可得F(x)是R上的偶函數,可得函數F(x)在x∈[0,+∞)上單調遞增,即可得出.

解答 解:∵當x∈(-∞,0]時,恒有xf′(x)<f(-x)=-f(x),∴xf′(x)+f(x)<0,
F(x)=xf(x),F′(x)=f(x)+xf′(x)<0,∴函數F(x)在x∈(-∞,0]上單調遞減,
由于函數f(x)是定義在R上的奇函數,
∴F(x)是R上的偶函數,∴函數F(x)在x∈[0,+∞)上單調遞增,
∵F(3)>F(2x-3),∴|2x-3|<3,
解得0<x<3.
的實數x的取值范圍是(0,3).
故答案為:(0,3).

點評 本題考查了函數的單調性奇偶性、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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15.滿足{1,2}?M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的個數為(  )
A.4B.6C.7D.8

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