Question

14．已知函數f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-x+3}$，其中 a∈R．
（1）若函數f（x）的定義域為R，求實數a的范圍；
（2）若函數f（x）的值域為[0，+∞），求實數a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）的定義域為R，可得ax²-x+3≥0對x∈R恒成立，得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-12a≤0}\end{array}\right.$，求解不等式組得答案；
（2）由函數f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-x+3}$的值域為[0，+∞），得a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-12a≥0}\end{array}\right.$，求解不等式組后再取并集得答案．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-x+3}$的定義域為R，
∴ax²-x+3≥0對x∈R恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-12a≤0}\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{1}{12}$，
∴實數a的范圍為[$\frac{1}{12}，+∞$）；
（2）∵函數f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-x+3}$的值域為[0，+∞），
∴a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-12a≥0}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{1}{12}$．
∴實數a的范圍為[0，$\frac{1}{12}$]．

點評 本題考查函數的定義域及函數值域的求法，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．