Question

3．設定義在R上的函數f（x）滿足：對任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y）成立且當x＞0時，f（x）＞0
（1）判斷f（x）的奇偶性并給出證明；
（2）判斷f（x）的單調性并給出證明；
（3）若f（1）=1，解關于x的不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得 f（0）=0．令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），化簡即可得出奇偶性．
（2）設x₁＞x₂，可得x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＞0，代入可得f（x₁）＞f（x₂），即可得出單調性．
（3）由f（1）=1，可得f（3）=3，不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．可得f（x²+2x+1-x）＞f（3）．利用單調性可得：x²+2x+1-x＞3．解出即可得出．

解答 解：（1）令x=y=0，則 f（0）=0．
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數．
（2）設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞0，
則f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，∴f（x₁）＞-f（-x₂）=f（x₂），
故f（x）為R上的增函數．
（3）∵f（1）=1，∴f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=3，
∵不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．
∴f（x²+2x+1-x）＞f（3）．
∵f（x）為R上的增函數，
∴x²+2x+1-x＞3．
化為：x²+x-2＞0．
解得x＞1，或x＜-2．
∴不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3的解集為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了抽象函數的奇偶性單調性、不等式的解法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．