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3.設定義在R上的函數f(x)滿足:對任意的x,y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y)成立且當x>0時,f(x)>0
(1)判斷f(x)的奇偶性并給出證明;
(2)判斷f(x)的單調性并給出證明;
(3)若f(1)=1,解關于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>3.

分析 (1)令x=y=0,可得 f(0)=0.令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),化簡即可得出奇偶性.
(2)設x1>x2,可得x1-x2>0,f(x1-x2)>0,代入可得f(x1)>f(x2),即可得出單調性.
(3)由f(1)=1,可得f(3)=3,不等式f(x2+2x)+f(1-x)>3.可得f(x2+2x+1-x)>f(3).利用單調性可得:x2+2x+1-x>3.解出即可得出.

解答 解:(1)令x=y=0,則 f(0)=0.
令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x).
故f(x)為奇函數.
(2)設x1>x2,則x1-x2>0,∴f(x1-x2)>0,
則f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0,∴f(x1)>-f(-x2)=f(x2),
故f(x)為R上的增函數.
(3)∵f(1)=1,∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=3,
∵不等式f(x2+2x)+f(1-x)>3.
∴f(x2+2x+1-x)>f(3).
∵f(x)為R上的增函數,
∴x2+2x+1-x>3.
化為:x2+x-2>0.
解得x>1,或x<-2.
∴不等式f(x2+2x)+f(1-x)>3的解集為:(-∞,-2)∪(1,+∞).

點評 本題考查了抽象函數的奇偶性單調性、不等式的解法、方程的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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