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15.已知實數x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求$\frac{y+3}{x+2}$的最大值與最小值.

分析 先將函數化簡,再利用換元法,進而可確定函數在定義域內為單調減函數,從而可求函數的最大值與最小值,故可得結論.

解答 解:∵y=x2-2x+2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x+2}$
令x+2=t(1≤t≤3),則x=t-2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=t+$\frac{13}{t}$-6
設f(t)=t+$\frac{13}{t}$-6,f′(t)=1-$\frac{13}{{t}^{2}}$,
∴函數在[1,3]上,f′(t)<0,函數為減函數
∴t=1時,函數取得最大值f(1)=8;t=3時,函數取得最小值f(3)=$\frac{4}{3}$.

點評 本題重點考查函數的最值,考查函數的單調性,考查換元法的使用,有一定的綜合性.

練習冊系列答案
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