Question

15．已知實數x，y滿足y=x²-2x+2（-1≤x≤1）．試求$\frac{y+3}{x+2}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 先將函數化簡，再利用換元法，進而可確定函數在定義域內為單調減函數，從而可求函數的最大值與最小值，故可得結論．

解答 解：∵y=x²-2x+2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x+2}$
令x+2=t（1≤t≤3），則x=t-2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=t+$\frac{13}{t}$-6
設f（t）=t+$\frac{13}{t}$-6，f′（t）=1-$\frac{13}{{t}^{2}}$，
∴函數在[1，3]上，f′（t）＜0，函數為減函數
∴t=1時，函數取得最大值f（1）=8；t=3時，函數取得最小值f（3）=$\frac{4}{3}$．

點評 本題重點考查函數的最值，考查函數的單調性，考查換元法的使用，有一定的綜合性．