Question

20．如圖1是圖2的三視圖，三棱錐B-ACD中，E，F分別是棱AB，AC的中點．

（1）求證：BC∥平面DEF；
（2）求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據E，F分別是AB，AC的中點得到EF∥BC，應用判定定理即得證．
（2）由圖1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，得到BD⊥平面ACD．取AD的中點G，連接EG，求得$EG=\frac{3}{2}$，進一步計算體積．

解答 證明：（1）∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC，
∵BC?平面DEF，EF?平面DEF，
∴BC∥平面DEF．…（4分）
解：（2）∵如圖1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，
又∵CD∩AD=D，
∴BD⊥平面ACD．…（8分）
取AD的中點G，連接EG，
∵E是AB的中點，
∴$EG\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BD$．
∴EG⊥平面ACD，$EG=\frac{3}{2}$，
∴${V_{A-EDF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．