Question

1．設F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B．若2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{3}$

Answer 1

分析 先由2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，得出A為線段FB的中點，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應的傾斜角的度數，找到a，b之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長FA與另一條漸近線交于點B．所以FB⊥OA，又因為2$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{FB}$，所以A為線段FB的中點，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，
∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3，e²=4⇒e=2．
故選：B．

點評 本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．