Question

（文） 已知函數f（x）=

-3x+a

3x+1+b

（1）當a=b=1時，求滿足f（x）≥3^x的x的 取值范圍；
（2）若y=f（x）是定義域為R的奇函數，求y=f（x）的解析式；
（3）若y=f（x）的定義域為R，判斷其在R上的單調性并加以證明．

Answer 1

考點：指數函數綜合題,函數奇偶性的性質

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知，

-3x+1

3x+1+1

≥3^x；從而解不等式；
（2）由題意知f（0）=

-1+a

3+b

=0，再由f（1）+f（-1）=0解出a．b；從而驗證即可；
（3）由單調性的定義去證明．

解答： 解：（1）由題意知，

-3x+1

3x+1+1

≥3^x；
化簡得，3（3^x）²+23^x-1≤0，
解得，-1≤3^x≤

1

3

；
故x≤-1；
（2）由題意，f（0）=

-1+a

3+b

=0，
故a=1；
再由f（1）+f（-1）=0得，b=3；
經驗證f（x）=

1-3x

3(3x+1)

是奇函數，
（3）證明：∵y=f（x）的定義域為R，∴b≥0；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（3a+b）

3x2-3x1

(3x1+1+b)(3x2+1+b)

，

∵x₁＜x₂，∴

3x2-3x1

(3x1+1+b)(3x2+1+b)

＞0；
故當3a+b＞0時，f（x）在R上單調遞減，
當3a+b＜0時，f（x）在R上單調遞增，
當3a+b=0時，f（x）在R上不具有單調性．

點評：本題考查了函數的性質應用及證明，屬于基礎題．