Question

【題目】如圖，五面體中，四邊形是菱形， 是邊長為2的正三角形， ， ．

（1）證明： ；

（2）若在平面內的正投影為，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連，得到，進而得出，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即得到；

（2）取的中點，連結，由（1）證得平面，所以點是在平面內的正投影，設點到平面的距離為，在中，求解面積，在中，得，利用，即可得到結論.

試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連

因為是邊長為的正三角形，所以

又四邊形是菱形， ，所以是正三角形

所以

而，所以平面

所以

（2）取的中點，連結

由（1）知，所以

平面，所以平面⊥平面

而平面⊥平面，平面與平面的交線為，

所以平面，即點是在平面內的正投影

設點到平面的距離為，則點到平面距離為

因為在中， ，得

在中， ，得

所以由得

即

解得 ，所以到平面的距離