Question

19．已知橢圓G的中心在平面直角坐標系的原點，離心率$e=\frac{1}{2}$，右焦點與圓C：x²+y²-2x-3=0的圓心重合．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設F₁、F₂是橢圓G的左焦點和右焦點，過F₂的直線l：x=my+1與橢圓G相交于A、B兩點，請問△ABF₁的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的方程求出圓心坐標，可得橢圓半焦距c，結合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）畫出圖形，由題意可得，當${S_{△AB{F_1}}}$最大時，△ABF₁內切圓的面積也最大，聯立直線方程和橢圓方程，求出A，B的坐標，代入三角形面積公式，然后利用換元法結合基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²-2x-3=0的圓心為（1，0）．
設橢圓G的方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
則$c=1，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2．
∴b²=a²-c²=2²-1=3，
∴橢圓G的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）如圖，設△ABF₁內切圓M的半徑為r，與直線l的切點為C，
則三角形△ABF₁的面積等于△ABM的面積+△AF₁M的面積+△BF₁M的面積．
即${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}（|{AB}|+|{A{F_2}}|+|{B{F_2}}|）r$=$\frac{1}{2}[（|{A{F_1}}|+|{A{F_2}}|）+（|{B{F_1}}|+|{B{F_2}}|）]r=2ar=4r$．
當${S_{△AB{F_1}}}$最大時，r也最大，△ABF₁內切圓的面積也最大．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
則${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_1}|+\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_2}|={y_1}-{y_2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得${y_1}=\frac{{-3m+6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，${y_2}=\frac{{-3m-6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．
∴${S_{△AB{F_1}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．    
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，則t≥1，且m²=t²-1，
有${S_{△AB{F_1}}}=\frac{12t}{{3（{t^2}-1）+4}}=\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$．
令$f（t）=3t+\frac{1}{t}$，由f（t）在[1，+∞）上單調遞增，得f（t）≥f（1）=4．
∴${S_{△AB{F_1}}}≤\frac{12}{4}=3$．即當t=1，m=0時，4r有最大值3，得${r_{max}}=\frac{3}{4}$，這時所求內切圓的面積為$\frac{9}{16}π$．
∴存在直線l：x=1，△ABF₁的內切圓M的面積最大值為$\frac{9}{16}π$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用換元法和基本不等式求最值，是中檔題．