Question

12．已知n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx，在二項式${（x-\frac{2}{x}）^n}$的展開式中，x²的系數是60．

Answer 1

分析 運用定積分公式，求得n=6，再求二項式的通項公式，化簡整理，解方程可得r，進而得到所求系數．

解答 解：n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx=9×$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-1}^{1}$=9×$\frac{2}{3}$=6，
二項式（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$x^6-r（-$\frac{2}{x}$）^r=${C}_{6}^{r}$x^6-2r（-2）^r，r=0，1，2，…，6，
令6-2r=2，解得r=2，
則x²的系數是${C}_{6}^{2}$（-2）²=60．
故答案為：60．

點評 本題考查二項式定理的運用：求指定項的系數，同時考查定積分的運算，屬于基礎題．