Question

已知橢圓

x2

4

+y²=1與直線x-y+b=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求b的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出點P、Q的坐標，利用橢圓方程與直線方程組成方程組，消去y，
再結合根與系數的關系，求出x₁•x₂與y₁•y₂的值，
由OP⊥OQ，得出x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出b的值．

解答： 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由橢圓方程與直線方程組成方程組，得；

x2 4 +y2=1 x-y+b=0

，
消去y，得；
x²+4（x+b）²=4，
整理得5x²+8bx+4b²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8b

5

，x₁•x₂=

4b2-4

5

；
∴y₁•y₂=（x₁+b）（x₂+b）
=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=

4b2-4

5

+（-

8b2

5

）+b²
=

b2-4

5

；
又∵OP⊥OQ，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4b2-4

5

+

b2-4

5

=0，
解得b=±

2

5

10

．

點評：本題考查了直線與橢圓的性質和應用的問題，解題時應利用向量垂直，數量積等于0，結合根與系數的關系進行解答，是綜合題．