Question

5．已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關于f（x）的命題：
①函數f（x） 在x=0，4處取到極大值；
②函數f（x）在區間[0，2]上是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a不可能有3個零點．
其中所有真命題的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由極值點的定義即可判斷①；由導數的符號，即可判斷單調區間，判斷②；
由極大值可能為最大值，即可判斷③；由轉化思想可得f（x）=a的圖象交點個數，討論兩個極大值中較小為a，另一個大于a，即可判斷④．

解答 解：①觀察導數的圖象可得f′（x）在x=0，x=4處左正右負，取得極大值，故①正確；
②函數f（x）在（0，2）的導數為負的，則f（x）在區間[0，2]上是減函數，故②正確；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，可能是f（0）=2或f（4）=2，那么t的最大值為5，
故③錯誤；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a，由f（x）=a的圖象交點個數可得零點個數，
當f（x）的一個極大值為a，另一個極大值大于a時，可得它們有三個交點，即三個零點．
故④錯誤．
綜上可得，①②正確．
故選：A．

點評 本題考查函數的導數的運用：求極值和最值，以及單調區間，注意通過圖象觀察，以及轉化和判斷能力，考查數形結合思想方法，屬于中檔題．