Question

16．關于函數f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx+1，下列命題：
①函數f（x）的最小正周期是π；
②函數f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}$，0）成中心對稱圖象；
③若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立；
④將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{5π}{6}$個單位后將與y=2sin2x+1的圖象重合．
其中正確的命題序號①③（注：把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 函數f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，分析函數的圖象和性質，可得答案．

解答 解：函數f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
①函數f（x）的最小正周期是π，即①正確；
②當x=$\frac{π}{12}$時，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=0，f（x）=1，故函數f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}$，1）成中心對稱圖象，故②錯誤；
③由函數f（x）的最小正周期是π，可考慮若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）成立，故③正確；
④將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{5π}{6}$個單位后，得到y=2cos[2（x-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]+1=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+1，
不與y=2sin2x+1的圖象重合，故④錯誤；
故答案為：①③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數的圖象和性質等知識點，難度中檔．