Question

已知，函數．

（Ⅰ）當時，

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在區間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

（Ⅰ）(1) 單調遞增區間為 ;(2) ;(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）(1)根據求出的值，然后利用,得到函數在定義域內都是單調遞增的，從而寫出其單調區間;

(2)當時，將不等式化簡，整理為在區間上有解問題，可以反解,利用不等式在區間上有解，即大于等于其最小值，轉化為求在區間上的最小值，

（Ⅱ）的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱．然后對猜測進行證明，首先求其兩點處的導數，即兩切線的斜率，利用平行及斜率相等，證明,.

試題解析：（Ⅰ）（1）因為，所以， 1分

則，

而恒成立，

所以函數的單調遞增區間為． 4分

（2）不等式在區間上有解，

即不等式在區間上有解，

即不等式在區間上有解，

等價于不小于在區間上的最小值． 6分

因為時，，

所以的取值范圍是． 9分

Ⅱ.因為的對稱中心為，

而可以由經平移得到，

所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，

則點與點關于點對稱． 10分

對猜想證明如下：

因為，

所以，

所以，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因為，所以，， 12分

從而，

所以．

又由上 ，

所以點，（）關于點對稱．

故當直線與平行時，點與點關于點對稱． 14分

考點：1.利用導數求其單調區間；2.導數的幾何意義的綜合問題.