Question

11．函數f（x）在R上可導，下列說法正確的是（　　）

• A． 若f′（x）+f（x）＞0，對任意x∈R恒成立，則有ef（2）＜f（1）
• B． 若f′（x）-f（x）＜0，對任意x∈R恒成立，則有e²f（-1）＜f（1）
• C． 若f′（x）＞1對任意x∈R恒成立，則有f（2）＞f（1）
• D． 若f′（x）＜1對任意x∈R恒成立，則有f（2）＞f（1）

Answer 1

分析 對于A，構造輔助函數，g（x）=e^xf（x），求導，g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，根據函數的單調性即可求得ef（2）＞f（1），A錯誤；
對于B，構造輔助函數，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導，g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，由函數的單調性可知，$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B錯誤，
對于C，由f′（x）＞1，f（x）在R上單調遞增，f（2）＞f（1）故C正確，
對于D，由f′（x）＜1，不能確定函數的單調性，即無法判斷f（2）＞f（1），即D錯誤．

解答 解：對A，若f（x）+f′（x）＞0對x∈R恒成立，設g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，
故g（x）在R上單調遞增，
∴e²f（2）＞ef（1），即ef（2）＞f（1），故A錯誤，
對于B，f′（x）-f（x）＜0，對x∈R恒成立，設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
故g（x）在R上單調遞減，
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B錯誤，
對于C，若f′（x）＞1對任意x∈R恒成立，
f（x）在R上單調遞增，
則有f（2）＞f（1），故C正確，
對于D，f′（x）＜1對任意x∈R恒成立，設g（x）=f（x）-x，
求導g′（x）=f′（x）-1，
∴g′（x）＜0，
g（x）在R上單調遞減，
g（2）＜g（1），
即f（2）-2＜f（1）-1，
f（2）＜f（1）+1，
不能確定：f（2）＞f（1），故D錯誤，
故答案選：C．

點評 本題考查了導數和函數的單調性的關系，考查利用構造法求函數的單調性，考查轉化思想，屬于中檔題．