Question

6．已知函數f（x）=x²-2|a+2|x+a²+4a+6，g（x）=x-a+6，a∈R．
（1）若函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x）恒成立，求實數a的值；
（2）設函數h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，若對任意實數a∈[-1，3]，存在x₀∈[-1，3]使不等式h（x₀）≤m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質和函數的對稱軸即可求出a的值，
（2）對任意實數a∈[-1，3]，存在x₀∈[-1，3]使不等式h（x₀）≤m成立，先求出h（x）的最小值，即可求出m的范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x）恒成立，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
故|a+2|=2，解得a=0或a=-4，
（2）∵a∈[-1，3]，
∴f（x）=x²-2（a+2）x+a²+4a+6，
∵f（x）-g（x）=x²-（2a+5）x+a²+5a=（x-a）[（x-（a+5）]，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），a≤x≤a+5}\\{g（x），x≤a或x≥a+5}\end{array}\right.$
∵-1≤a≤3，
∴1≤a+2≤5，4≤a+5≤8，
①∵1≤a≤3時，此時a+2≥3
∴h（x）在[-1，a]上單調遞增，在[a，3]上單調遞減，
∴h（x）_min={h（-1），h（3）}=min{5-a，a²-2a+3}，
當1≤a≤2時，5-a≥a²-2a+3，得h（x）_min=a²-2a+3，
當2＜a≤3時，5-a＜a²-2a+3，得h（x）_min=5-a，
②-1≤a＜1時，此時a+2＜3，
∴h（x）在[-1，a]上單調遞增，在[a，a+2]上單調遞減，在[a+2，3]上單調遞增，
∴h（x）_min={h（-1），h（a=2）}=min{5-a，2}，
此時5-a＞2恒成立，
∴h（x）_min=2，
令H（a）=h（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a+3，1≤a≤2}\\{5-a，2＜a≤3}\\{2，-1≤a＜1}\end{array}\right.$，
易知當a=2時，H（a）_max=3，
故m≥3．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，二次函數的圖象和性質，函數的最值，分類討論的思想，難度中檔．