Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），其通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：把

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

變形得到

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，說明數列{

1

an

-

1

an-1

}構成以1為公比的等比數列，求出

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．說明數列{

1

an

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數列．然后由等差數列的通項公式求得數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：由

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，得

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，
∵a₁=2，a₂=1，∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

，
∴數列{

1

an

-

1

an-1

}構成以

1

2

為首項，以1為公比的等比數列，
則

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．
∴數列{

1

an

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數列．
則

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
∴an=

2

n

．
故答案為：

2

n

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系與等比關系的確定，考查了等差數列與等比數列通項公式的求法，是中檔題．