Question

已知函數f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-

1

2

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）把f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，得到的圖象對應的函數為g（x），求函數g（x）在[0，

π

4

]的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由倍角公式化簡解析式可得f（x）=sin(2x+

π

6

)，從而可求最小正周期T；
（Ⅱ）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律先求解析式，即可求函數g（x）在[0，

π

4

]的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin(2x+

π

6

)，
∴最小正周期T=π；

（Ⅱ）依題意得：g(x)=sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

3

)
∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴g（x）的取值范圍為[

1

2

，1]．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的圖象與性質，屬于中檔題．