Question

某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得投資收益的范圍是[10，100]（單位：萬元）．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過5萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）若建立函數模型y=f（x）制定獎勵方案，請你根據題意，寫出獎勵模型函數應滿足的條件；
（Ⅱ）現有兩個獎勵函數模型：（1）y=

1

20

x+1；（2）y=log₂x-2．試分析這兩個函數模型是否符合公司要求．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），由題意轉化為數學語言即可；
（Ⅱ）對兩個獎勵函數模型：（1）y=

1

20

x+1；（2）y=log₂x-2依次檢驗三個條件，從而確定函數模型．

解答： 解：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），
則該函數模型滿足的條件是：
①當x∈[10，100]時，f（x）是增函數；
②當x∈[10，100]時，f（x）≤5恒成立；
③當x∈[10，100]時，f(x)≤

x

5

恒成立．

（Ⅱ）（1）對于函數模型(1)y=

1

20

x+1，
它在[10，100]上是增函數，滿足條件①；
但當x=80時，y=5，因此，當x＞80時，y＞5，不滿足條件②；
故該函數模型不符合公司要求．
（2）對于函數模型y=log₂x-2，它在[10，100]上是增函數．滿足條件①，
x=100時y_max=log₂100-2=2log₂5＜5，即f（x）≤5恒成立．滿足條件②，
設h(x)=log2x-2-

1

5

x，則h′(x)=

log2e

x

-

1

5

，又x∈[10，100]，
∴

1

100

≤

1

x

≤

1

10

，
∴h′(x)＜

log2e

10

-

1

5

＜

2

10

-

1

5

=0，
所以h（x）在[10，100]上是遞減的，因此h（x）＜h（10）=log₂10-4＜0，
即f(x)≤

x

5

恒成立．滿足條件③
故該函數模型符合公司要求
綜上所述，函數模型y=log₂x-2符合公司要求．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了導數的應用及構造函數的方法應用，屬于中檔題．