Question

18．已知定義在R上的函數f（x）是奇函數且滿足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，數列{a_n}是等差數列，若a₂=3，a₇=13，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 確定f（x）為周期為3的函數，數列{a_n}的通項公式，即可得出結論．

解答 解：∵函數f（x）是奇函數且滿足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
有f（$\frac{3}{2}$-x）=-f（-x），
則f（3-x）=-f（$\frac{3}{2}$-x）=f（-x），
即f（3-x）=f（-x），
∴f（x）為周期為3的函數，
∵數列{a_n}是等差數列，若a₂=3，a₇=13，
∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029），
∵f（-2）=-3，f（0）=0，∴f（1）=-3，
∴f（1）+f（3）+f（5）=0，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（4029）=f（1）+f（3）=-3，
故選B．

點評 本題綜合考查了函數的周期性、奇偶性、數列的概念和通項公式等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．