Question

9．對于任意實數x，[x]表示不超過x的最大整數，如[-0，2]=-1，[1.72]=1，已知${a_n}=[{\frac{n}{3}}]（{n∈{N^*}}），{S_n}$為數列{a_n}的前項和，則S₂₀₁₇=677712．

Answer 1

分析 利用n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，可得S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，由2017=3×672+1，即可求得S₂₀₁₆，由a₂₀₁₇=672，S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇，即可求得S₂₀₁₇．

解答 解：∵n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，
∴n=3k，k∈N^*時，a_3k=k；
n=3k+1，k∈N時，a_3k+1=k；
n=3k+2，k∈N時，a_3k+2=k．
S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=3×$\frac{[1+（n+1）]（n-1）}{2}$=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，
由2017=3×672+1，
∴S₂₀₁₆=S_3×672=$\frac{3}{2}$×672²-$\frac{672}{2}$=677040，
a₂₀₁₇=672，
S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=677040+672=677712，
故答案為：677712．

點評 本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了數列的推導與歸納，是新定義題，應熟悉定義，將問題轉化為已知去解決，屬于中檔題．