Question

已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

Answer 1

（1）； （2）的值是定值，且定值為．

【解析】

試題分析：（1）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得參數(shù)方程， 消參后可得點(diǎn)的軌跡的方程；

（2） 設(shè)直線的方程為，、，求出和．

即可推出是定值.

試題解析：【解析】
（1）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， 1分

．，由，得. 3分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，

代入，得. 5分

（2）（法一）設(shè)直線的方程為，、，

則，. 6分

由，得， 同理得． 8分

，，則. 9分

由，得，. 11分

則. 13分

因此，的值是定值，且定值為. 14分

（法二）①當(dāng)時， 、，則， ．

由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

. 7分

②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，、，同解法一，得. 10分

由，得，． 11分

則. 13分

因此，的值是定值，且定值為. 14分

考點(diǎn)：1、動點(diǎn)軌跡方程的求法；2、直線與拋物線的位置關(guān)系；3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.