Question

7．已知數列{a_n}滿足，${a_n}=2+2{cos^2}\frac{nπ}{2}$，n∈N^*，等差數列{b_n}滿足a₁=2b₁，a₂=b₂．
（1）求b_n；
（2）記c_n=a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n，求c_n；
（3）求數列{a_nb_n}前2n項的和S_2n．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡a_n，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n為奇數}\\{4，n為偶數}\end{array}\right.$．求出數列{b_n}的首項和公差，則通項公式可求；
（2）直接把{a_n}、{b_n}的通項公式代入求解；
（3）由（2）知，數列{c_n}是以36為公差的等差數列，再由等差數列的前n項和公式得答案．

解答 解：（1）由${a_n}=2+2{cos^2}\frac{nπ}{2}$=2+1+cosnπ=3+cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{2，n為奇數}\\{4，n為偶數}\end{array}\right.$．
于是，${b}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}=1$，b₂=a₂=4，
∴等差數列{b_n}的公差為3，則b_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）c_n=a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n=2[3（2n-1）-2]+4[3×2n-2]=36n-18；
（3）由（2）知，數列{c_n}是以36為公差的等差數列，
則S_2n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_2n-1b_2n-1+a_2nb_2n
=$\frac{n（{c}_{1}+{c}_{n}）}{2}$=$\frac{n（18+36n-18）}{2}=18{n}^{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列前n項和的求法，是中檔題．