Question

19．已知直線ax+by-8=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，則ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式得圓心（1，2）在直線ax+by-8=0上，而a+2b=8，由此利用均值定理能求出ab的最大值．

解答 解：由圓x²+y²-2x-4y=0，得（x-1）²+（y-2）²=5，
∴圓心（1，2），半徑r=$\sqrt{5}$，
直線ax+by-8=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
∴圓心（1，2）在直線ax+by-8=0上，
∴a+2b=8，
∵a＞0，b＞0，
∴2ab≤（$\frac{a+2b}{2}$）²=16，即ab≤8，
∴當且僅當a=2b=4時，ab取最大值8．
故選：D．

點評 本題考查兩數(shù)積的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質(zhì)、點到直線距離公式、均值定理的合理運用．