Question

11．設f（x）=$\frac{x}{2x+2}$（x＞0），計算觀察以下格式：
f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），f₄（x）=f（f₃（x）），…
根據以上事實得到當n∈N^*時，f_n（1）=$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根據已知中函數的解析式，歸納出函數解析中分母系數的變化規律，進而得到答案．

解答 解：由已知中設函數f（x）=$\frac{x}{2x+2}$（x＞0），觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{2x+2}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{6x+4}$；
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{14x+8}$．
f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{30x+16}$
…
歸納可得：f_n（x）=$\frac{x}{（{2}^{n+1}-2）x+{2}^{n}}$，（n∈N^*）
∴f_n（1）=$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*），
故答案為$\frac{1}{3•{2}^{n}-2}$（n∈N^*）．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．