Question

17．設雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，若以OF₁（O為坐標原點）為直徑的圓與PF₂相切，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{-3+6\sqrt{2}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3+6\sqrt{2}}{7}$

Answer 1

分析 設F₁N=ON=MN=r，則OF₂=2r，根據勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，再利用相似三角形和雙曲線的離心率公式即可求得

解答 解：設F₁N=ON=MN=r，
則OF₂=2r，
根據勾股定理NF₂=2$\sqrt{2}$r，
又△MF₂N∽△PF₁F₂，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{2}-P{F}_{1}}$=$\frac{N{F}_{2}}{M{F}_{2}-MN}$=$\frac{3r}{2\sqrt{2}r-r}$=$\frac{6\sqrt{2}+3}{7}$，
故選：D

點評 此題要求學生掌握定義：到兩個定點的距離之差等于|2a|的點所組成的圖形即為雙曲線．考查了數形結合思想、本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑．