Question

2．已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集為R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a²+3b²+4c²的最小值及此時a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式，結(jié)合關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集為R，求出m的范圍，即可得出結(jié)論；
（2）利用柯西不等式，可得2a²+3b²+4c²的最小值及此時a，b，c的值．

解答 解：（1）因為|x+3|+|x+m|≥|（x+3）-（x+m）|=|m-3|．
當-3≤x≤-m或-m≤x≤-3時取等號，
令|m-3|≥2m所以m-3≥2m或m-3≤-2m．
解得m≤-3或m≤1
∴m的最大值為1．
（2）∵a+b+c=1．
由柯西不等式，$（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}）（{2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}}）$≥（a+b+c）²=1，
∴$2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}≥\frac{12}{13}$，等號當且僅當2a=3b=4c，且a+b+c=1時成立．
即當且僅當$a=\frac{6}{13}$，$b=\frac{4}{13}$，$c=\frac{3}{13}$時，2a²+3b²+4c²的最小值為$\frac{12}{13}$．

點評 本題給出等式a+b+c=1，求式子2a²+3b²+4c²的最小值．著重考查了運用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號成立的條件等知識，屬于中檔題．