Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$滿足：對任意實數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，那么實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點即x=1時，第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值．由此不難判斷a的取值范圍．

解答 解：∵對任意實數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，
當(dāng)x≥1時，y=log_ax單調(diào)遞減，
∴0＜a＜1；
而當(dāng)x＜1時，f（x）=（3a-1）x+4a單調(diào)遞減，
∴a＜$\frac{1}{3}$；
又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時，（3a-1）x+4a≥log_ax，得a≥$\frac{1}{7}$，
綜上可知，a的取值范圍為[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
故答案為：[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）

點評 分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．