Question

定義：若在上為增函數，則稱為“k次比增函數”，其中. 已知其中e為自然對數的底數.

（1）若是“1次比增函數”，求實數a的取值范圍；

（2）當時，求函數在上的最小值；

（3）求證：.

 

Answer 1

(1) ;(2)詳見解析；(3)詳見解析.3.詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函數”，得到在上為增函數，求導后，導數大于等于0，分離參數，轉化為恒成立，求最值的問題，即可得到實數a的取值范圍；

（Ⅱ）當時，得到函數,，利用導數即可得到的單調區間，分成,三種情況進行分類討論即可函數在上單調性，進而得到其最小值；

（Ⅲ）由（Ⅱ）當時， ,即 ，則 ，即可證明：.，

試題解析：（1）由題意知上為增函數，因為在上

恒成立.又，則在上恒成立，

即在上恒成立. 而當時，，所以，

于是實數a的取值范圍是. 4分

（2）當時，，則.

當，即時，；

當，即時，.

則的增區間為（2，＋∞），減區間為（－∞，0），（0，2）. 6分

因為，所以，

①當，即時，在[]上單調遞減，

所以.

②當，即時，在上單調遞減，

在上單調遞增，所以.

③當時，在[]上單調遞增，所以.

綜上，當時，；

當時，；

當時，. 9分

（3）由（2）可知，當時，，所以，

可得 11分

于是

14分

考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.利用導數求函數的最值.