Question

已知函數f（x）=

x+a

x+b

（a、b為常數）．
（1）若a=2，b=1，解不等式f（x-1）＞0；
（2）當x∈[-1，2]時，f （x）的值域為[

5

4

，2]，求a、b的值．

Answer 1

考點：函數的值域,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）利用函數解析式得到分式不等式，再轉化為整式不等式，解不等式，得到本題結論；（2）利用函數的單調性，得到相應的方程，解方程組得到本題結論，本題要利用連續區間內一定有單調性的這一特征，還要根據不同的單調性情況進行分類討論．

解答： 解析：（1）∵函數f（x）=

x+a

x+b

（a、b為常數），
∴當a=2，b=1時，f(x)=

x+2

x+1

，
∴f（x-1）=

x+1

x

＞0，
∴x（x+1）＞0，
不等式的解為：x＞0或x＜-1．
（2）∵函數f（x）=

x+a

x+b

（a、b為常數），
∴f（x）=1+

a-b

x+b

，
①當a＞b時，f（x）在（-∞，-b]單調遞減，f（x）在（-b，+∞）單調遞減，
∴

-1+a -1+b =2 2+a 2+b = 5 4

，
∴

a=3 b=2

．
②當a=b時，不符合題意
③當a＜b時，f（x）單調遞增，
∴

-1+a -1+b = 5 4 2+a 2+b =2

，
∴

a=-4 b=-3

．
故所求的值為a=3，b=2或a=-4，b=-3．

點評：本題考查了分式不等式的解法和函數單調性的應用，本題難度不大，屬于基礎題．