Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（2，0）
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）拋物線C在x軸上方一點A的橫坐標為2，過點A作兩條傾斜角互補的直線，與曲線C的另一個交點分別為B，C，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據已知中拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（2，0），求出p值，可求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）設出直線PA、PB的方程與橢圓方程聯立，求出A，B的坐標，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率為定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（2，0），
∴

p

2

=2，
解得：p=4，
故拋物線C的標準方程為：y²=8x；
（Ⅱ）∵點A的橫坐標為2，
故A點的坐標為（2，4），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知設PA：m（y-4）=x-2，即：x=my-4m+2，
代入拋物線的方程得：y²=8（my-4m+2），即y²-8my+32m-16=0，
則：y₁+4=8m，故：y₁=8m-4，
設PB：-m（y-4）=x-2，即：x=-my+4m+2…（6分）
同理可得：y₂=-8m-4，…（10分）
直線AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

16m

-16m

=-1，
所以：直線AB的斜率為定值． …（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線的斜率公式，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．