Question

為了研究探照燈的結構特征，在坐標軸中畫出了探照燈的軸截面，如圖．已知探照燈的軸截面圖是拋物線y²=2px（p＞0）的一部分，若該拋物線的焦點恰好在直線x+y-1=0上．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若一束平行于x軸的直線入射到拋物線的P點，經過拋物線焦點F后，由點Q反射出平行光線，試確定點P的位置使得從入射點P到反射點Q的路程最短．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直線x+y-1=0與x軸的交點為（1，0）點的焦點坐標，即可求解拋物線方程．
（2）設點P坐標為（

a2

4

，a）（a≠0），推出PQ的方程為y=

4a

a2-4

（x-1）．與拋物線方程聯立，求出Q的坐標，利用|PQ|=|PF|+|QF|=

a2

4

+

4

a2

+2以及基本不等式求出最值，即可點的入射點P到反射點Q的路程最短．

解答： 解：（1）直線x+y-1=0與x軸的交點為（1，0），
故拋物線焦點F（1，0），拋物線方程為y²=4x．         （5分）

（2）設點P坐標為（

a2

4

，a）（a≠0），又PQ過焦點可得PQ的方程為y=

4a

a2-4

（x-1）．
由

y= 4a a2-4 (x-1) y2=4x

解得y=a或y=-

4

a

，
故點Q（

4

a2

，-

4

a

），則|PQ|=|PF|+|QF|=

a2

4

+

4

a2

+2≥2+2=4，
當且僅當a=±2時，取等號，
故當點P的坐標為（1，2）或（1，-2）時，從入射點P到反射點Q的路程最短為4．          （12分）

點評：本題考查拋物線與直線的位置關系，拋物線方程的求法，考查基本不等式的應用，考查計算能力．