Question

5．已知 函數f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）x∈R的圖象關于原點對稱，其中m，n為實常數．
（1）求m，n的值；
（2）試用單調性的定義證明：f（x）在區間[-2，2]上是單調函數；
（3）當-2≤x≤2 時，不等式f（x）≥（n-log_ma）log_ma恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數的對稱性，得到方程，轉化求解m，n即可．
（2）利用函數的單調性的定義直接證明即可．
（3）利用函數的單調性結合函數的定義域，轉化求解即可．

解答 （本題14分）
解：（1）由已知得f（x）為奇函數∴f（-x）=-f（x）即-x³+（m-4）x²+3mx+（n-6）=-x³-（m-4）x²+3mx-（n-6）恒成立，即（m-4）x²+（n-6）=0恒成立，∴m=4，n=6…（4分）
（2）由（1）的f（x）=x³-12x，設-2≤x₁＜x₂≤2，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=x_1^3-12{x_1}-x_2^3+12x{\;}_2=（{x_1}-{x_2}）（x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2-12）$，
∵-2≤x₁＜x₂≤2，∴${x_1}-{x_2}＜0，x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2-12＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[-2，2]上是減函數   …（10分）
（3）由（2）知f（x）在[-2，2]上是減函數，
則f（x）≥f（2）=-16-16≥（6-log₄a）log₄a，
∴（log₄a-8）（log₄a+2）≥0，
∴log₄a≤-2或log₄a≥8，
∴$0＜a≤\frac{1}{16}$或a≥4⁸…（14分）

點評 本題考查函數的恒成立條件的應用，函數的單調性，考查轉化思想以及計算能力．