Question

設函數f（x）=a²-2-b²x（ab≠0），當-1≤x≤1時，f（x）≥0恒成立，當

a4+3

|b|

取得最小值時，a的值為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用一次函數的單調性可得a²-b²≥2．再利用基本不等式可得

a4+3

|b|

≥

(b2+2)2+3

|b|

=|b|3+4|b|+

7

|b|

，令|b|=t＞0，g（t）=t3+4t+

7

t

，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答：解：∵函數f（x）=a²-2-b²x（ab≠0），當-1≤x≤1時，f（x）≥0恒成立，
∴f（1）=a²-2-b²≥0，
化為a²-b²≥2．
∴

a4+3

|b|

≥

(b2+2)2+3

|b|

=|b|3+4|b|+

7

|b|

，
令|b|=t＞0，g（t）=t3+4t+

7

t

，
則g′(t)=3t2+4-

7

t2

=

3t4+4t2-7

t2

=

(3t2+7)(t2-1)

t2

，
令g′（t）=0，解得t²=1．
令g′（t）＞0，解得t²＞1，此時函數g（x）單調遞增；令g′（t）＜0，解得0＜t²＜1，此時函數g（x）單調遞減．
∴當t²=1時，函數g（t）取得最小值，g（1）=12．
此時a²=b²+2=1+2=3，解得a=±

3

．
故選：D．

點評：本題考查了一次函數的單調性、基本不等式、利用導數研究其單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．