Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）在給定坐標系下畫出函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,函數解析式的求解及常用方法,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由當x≥0時，f（x）=x（x-2）．函數f（x）是定義在R上的奇函數，結合二次函數的圖象和性質及奇函數的圖象關于原點對稱，可得函數f（x）的圖象，結合圖象上升對應函數的單調增區間，可得答案；
（Ⅱ）當x＜0時，-x＞0，代入結合f（x）=-f（-x）得到函數f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵當x≥0時，f（x）=x（x-2）．函數f（x）是定義在R上的奇函數，
故函數的圖象關于原點對稱，則函數f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1]和[1，+∞），
（Ⅱ）當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=-x（-x-2）=x²+2x．
又∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

點評：本題考查的知識點是函數圖象的作法，函數解析式的求法，奇函數的圖象和性質，難度不大，屬于基礎題．