Question

已知曲線C：y=x³-3x²+2x，直線l：y=kx，且l與C切于點（x₀，y₀）（x₀≠0），則切點坐標是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：根據切點（x₀，y₀）既在曲線上，又在切線上，由導數的幾何意義可得切線的斜率．聯立方程組解之即可．

解答： 解：∵直線過原點，則k=

y0

x0

，（x₀≠0）．
由點（x₀，y₀）在曲線C上，則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在（x₀，y₀）處曲線C的切線斜率應為k=f′（x₀）=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=

3

2

（∵x₀≠0）．
這時，y₀=-

3

8

，
∴切點坐標是（

3

2

，-

3

8

）．
故答案為：（

3

2

，-

3

8

）．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，求函數的導數是解決本題的關鍵．