Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），函數f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用向量的數量積的坐標公式和二倍角公式和兩角和的正弦公式，即可化簡求得；
（Ⅱ）運用正弦函數的周期公式和正弦函數的最大值及對應的x的值，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（cosx-sinx，2sinx），

b

=（cosx+sinx，cosx），
則函數f（x）=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx
=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=

2

sin(2x+

π

4

)；
（Ⅱ）由于f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，
則f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
f（x）的最大值為

2

，此時2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，解得，
x=kπ+

π

8

，k∈Z．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式的運用，考查正弦函數的周期性和最值性，考查運算能力，屬于中檔題．