Question

已知函數f（x）=-

1

a

+

2

x

（x＞0）．
（1）解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：（2）由f（x）＞0，整理得ax（x-2a）＜0．求解時要對參數a的范圍進行分類討論，分類解不等式；
（3）對恒等式進行變形，得到

1

a

≤2（x+

1

x

），．求出

1

a

≤2（x+

1

x

）的最小值，令小于等于它即可解出參數a的取值范圍．

解答： 解：（1）不等式f（x）＞0，即-

1

a

+

2

x

＞0，即

-x+2a

ax

＞0，整理得ax（x-2a）＜0，
當a＞0時，不等式為x（x-2a）＜0，解集為{x|0＜x＜2a}；
當a＜0時，不等式為x（x-2a）＞0，又x＞0，解集為{x|x＞0}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即-

1

a

+

2

x

+2x≥0，
∴

1

a

≤2（x+

1

x

），
∵2（x+

1

x

）≥2×2

x• 1 x

=4，
∴

1

a

≤4，
解得a＜0或a≥

1

4

．
故a的取值范圍為（-∞，0）∪[

1

4

，+∞）

點評：本題考查用導數法證明函數的單調性、利用單調性解不等式以及恒成立的問題求參數．解題中變形靈活，轉化得當，值得借鑒．