Question

6．已知函數f（x）=|x|（x-a），a為實數．
（1）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在[0，2]為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數a（a＜0），使得f（x）在閉區間$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數是奇函數定義，列出關系式，即可求出a的值；
（2）推出二次函數的性質，列出不等式求解即可．
（3）化簡函數為分段函數，通過討論a的范圍，列出關系式求解即可．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）因為奇函數f（x）定義域為R，
所以f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，
即|-x|（-x-a）=-|x|（x-a），即|x|（-x-a+x-a）=0，
即2a|x|=0對任意x∈R恒成立，
所以a=0．…（4分）
（2）因為x∈[0，2]，所以f（x）=x（x-a），…（5分）
顯然二次函數的對稱軸為$x=\frac{a}{2}$，由于函數f（x）在[0，2]上單調遞增，
所以$\frac{a}{2}≤0$，
即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三種情況討論他可）…（8分）
（3）∵a＜0，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（{x-a}），x≥0\\ x（{a-x}），x＜0\end{array}\right.$，
∴f（-1）=-1-a≤2，∴-a≤3（先用特殊值約束范圍）
∴$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-a}）≤\frac{7}{4}＜2$，f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）必在區間[-1，0]上取最大值2．…（10分）
當$\frac{a}{2}＜-1$，即a＜-2時，則f（-1）=2，a=-3，成立…（12分）
當$\frac{a}{2}≥-1$，即0＞a≥-2時，$f（{\frac{a}{2}}）=2$，則$a=±2\sqrt{2}$（舍）…（14分）
綜上，a=-3．…（16分）

點評 本題考查分段函數以及二次函數的性質，考查轉化思想以及計算能力．