Question

2．已知焦點均在x軸上的雙曲線C₁，與雙曲線C₂的漸近線方程分別為y=土k₁x 與y=±k₂x，記雙曲線C₁的離心率e₁，雙曲線C₂的離心率e₂，若k₁k₂=1，則e₁e₂的最小值為2．

Answer 1

分析 由題意設出兩雙曲線方程，求得e₁，e₂，然后利用基本不等式求得e₁e₂的最小值．

解答 解：由題意可設C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），C₂：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
則${e}_{1}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，${e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{b}$，
∴${e}_{1}{e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{ab}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$$≥\frac{2ab}{ab}=2$．（當且僅當a=b時等號成立）．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．