Question

【題目】設是橢圓上的兩點，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；

（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．

【解析】

試題（1）根據條件可得，再設直線的方程為：，與橢圓聯立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據，求得和的關系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓聯立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.

試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為

設的方程為：，代入得：

∴，，

∵，∴，即：

即，解得：

（2）①直線斜率不存在時，即，

∵

∴，即

又∵點在橢圓上

∴，即

∴，

∴，故的面積為定值1

②當直線斜率存在時，設的方程為，

聯立得：

∴，，

∴

所以三角形的面積為定值1.