Question

【題目】如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側有一集鎮（集鎮視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當地政府為方便村民出行，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側），建橋要求：兩村所有人到集鎮所走距離之和最短，已知兩村的人口數分別是人、人，假設一年中每人去集鎮的次數均為次．設．（小河河岸視為兩條平行直線）

（1）記為一年中兩村所有人到集鎮所走距離之和，試用表示；

（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，符合建橋要求.

【解析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據可表示出和，代入整理可得結果；（2）根據（1）的結論可得，利用導數可求得時，取得最小值，得到結論.

（1）與的正切值之比為

則，

，

，

，

（2）由（1）知：，

，

令，解得：

令，且

當時，，；當時，，

函數在上單調遞減；在上單調遞增；

時，函數取最小值，即當時，符合建橋要求