Question

7．△ABC是直角邊等于4的等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+m•\overrightarrow{AC}$，向量$\overrightarrow{AM}$的終點M在△ACD的內部（不含邊界），則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范圍是（-2，6）．

Answer 1

分析 以AB為x軸，AC為y軸，作圖如右圖，利用向量的坐標運算求則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范圍．

解答 解：以AB為x軸，AC為y軸，作圖如右圖，
點A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），
則$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+m•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$（4，0）+m（0，4）=（1，4m），則M（1，4m）．
直線BC的方程為x+y-4=0，
當x=1時，y=3，故點（1，3）在直線BC上．
又∵點M（1，4m）在△ACD的內部（不含邊界），
∴1＜4m＜3，$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$，
則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$═（1，4m）•（-3，4m）=16m²-3，∴-2＜16m²-3＜6，
故答案為：（-2，6）．

點評 本題考查了向量在平面幾何中的運用，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，屬于中檔題．