Question

2．等腰三角形ABC，E為底邊BC的中點，沿AE折疊，如圖，將C折到點P的位置，使P-AE-C為120°，設點P在面ABE上的射影為H．
（1）證明：點H為EB的中點；
（2）若$AB=AC=2\sqrt{2}，AB⊥AC$，求H到平面ABP的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AE⊥面EPB，∠CEP為二面角C-AE-P的平面角，從而EH=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}$EB，由此能證明H為EB的中點．
（2）過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，則HN為H到平面ABP的距離，由此能求出結果．

解答 證明：（1）依題意，AE⊥BC，則AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠CEP為二面角C-AE-P的平面角，則點P在面ABE上的射影H在EB上．
由∠CEP=120°，得∠PEB=60°．…（3分）
∴EH=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}$EB．
∴H為EB的中點．…（6分）
解：（2）過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，
則有三垂線定理得AB⊥面PHM．
即面PHM⊥面PAB，
∴HN⊥面PAB．∴HN為H到平面ABP的距離．…（9分）
依題意，BE=$\frac{1}{2}BC=2$．BH=$\frac{1}{2}BE=1$．
在△HMB中，HM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△EPB中，PH=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PHM中，HN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查點為線段中點的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．