Question

12．設函數$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）在區間（a+1，+∞）上的單調性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，f（-x）=-f（x），即可求實數a的值；
（2）利用函數單調性的定義進行證明．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
∴$-x-\frac{1}{x}+a=-（x+\frac{1}{x}+a）$，∴a=0．
（2）函數f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．
證明：設1＜x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的判斷和證明，要求熟練掌握函數單調性的定義及證明過程．