Question

16．在四棱錐中P-ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD、E、F，分別為PC、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若AB=2，求三棱錐E-DFC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于點F，推導(dǎo)出EF∥PA，由此能證明EF∥平面PAD．
（2）由V_E-DFC=V_F-EDC，能求出三棱錐E-DFC的體積．

解答 證明：（1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于點F，…（1分）
所以，在△PAC中，EF∥PA…（3分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD…（5分）
所以EF∥平面PAD…（6分）
解：（2）AB=2，則$PA=PD=\sqrt{2}$，
因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，且底面是正方形，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥PA，
由PA²+PD²=AD²得PD⊥PA，
所以PA⊥平面PDC…（8分）
又因為EF∥PA，且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以EF⊥平面EDC…（9分）
由CD⊥平面PAD得CD⊥PD，
所以${S_{△EDC}}=\frac{1}{2}{S_{△PDC}}=\frac{1}{2}×（{\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
從而${V_{E-DFC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{3}{S_{△EDC}}•EF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．