Question

已知點Q為雙曲線x²-4y²=9上任意一點，定點A（0，4），若動點P滿足

PQ

=2

AP

，求動點P運動的軌跡方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P點坐標為（x，y），Q點坐標為（x₀，y₀），結合定點A（0，4），

PQ

=2

AP

，可得

x0=3x y0=3y-8

，代入雙曲線方程x²-4y²=9，整理可得動點P運動的軌跡方程．

解答： 解：設P點坐標為（x，y），Q點坐標為（x₀，y₀），
∵定點A（0，4），
∴

PQ

=（x₀-x，y₀-y），

AP

=（x，y-4），
∵

PQ

=2

AP

，
∴

x0-x=2x y0-y=2(y-4)

，
∴

x0=3x y0=3y-8

，
∵Q點（x₀，y₀）為雙曲線x²-4y²=9上的點，
∴（3x）²-4（3y-8）²=9
即x²-4（y-

8

3

）²=1，
即動點P的軌跡是一條雙曲線．

點評：本題主要考查求軌跡方程的方法，坐標法是解答此類問題的常用方法，本題是“點隨點動“問題，須要設出兩個點的坐標，屬于中檔題．